Le Nombre d'or (1931)
1. A redefinição das noções elementares de número, relação e proporção pode ser buscada nas fontes gregas que tratam da matéria, especialmente em Platão e no tratado completo de Nicômaco de Gerasa, que oferecem pontos de partida e chegada suficientemente claros para que se apresentem suas definições e comentários.
2. A concepção de Número em Platão, que o considera o mais alto grau de conhecimento e o próprio conhecimento, deriva do pitagorismo mais ortodoxo, enquanto Nicômaco, neopitagórico reconhecido, compilou de modo judicioso e claro elementos da brilhante Escola de Alexandria, da qual em geral só os títulos chegaram até nós.
3. Na base das ideias e definições apresentadas encontra-se a afirmação de que tudo é arranjado segundo o Número, tese que já circulava no século IV a.C. entre os que conheceram os últimos sobreviventes da Escola primitiva fundada pelo Mestre na Sicília como a mais importante de suas revelações filosóficas.
4. Os comentários e definições, embora pareçam envoltos em metafísica a priori desconcertante para o racionalismo moderno, permitem notar que a razão domina imperiosamente o desenvolvimento e o encadeamento das ideias, e que essa ginástica mental helênica possibilita seguir a evolução de um sistema conceitual robusto que permanece vivo, sugerindo que o brilho suspeito do núcleo metafísico-teológico era clareza e que a Teoria dos Números atual começa a se assemelhar à de Platão e Nicômaco.
5. A palavra Logos significa em grego razão, raciocínio e relação, e também a Inteligência divina criadora, e Nicômaco distingue dois tipos de números, o Número divino ou Número-Ideia e o número científico, sendo o primeiro o modelo ideal do segundo e o Arquétipo diretor de todo o Universo criado.
6. Nicômaco trata do Número-Ideia ou Número Puro nos Theologumena Arithmeticae e do número científico na Introdução à Aritmética, dividindo a teoria dos números em Arithmologia, com tendências metafísicas, e Aritmética propriamente dita, de método silogístico rigoroso, enquanto o cálculo concreto com números era relegado à logística, destinada a gente de negócios.
7. Uma scholie sobre o Charmides de Platão afirma que a logística se ocupa de objetos enumeráveis e não dos verdadeiros números, supondo que 1 é a unidade e que tudo o que pode ser contado é número, aplicando-lhes os teoremas da aritmética.
8. A distinção entre Filosofia do Número, Teoria dos Números e Cálculo, bem como entre números ordinais e cardinais, tornou-se mais clara ao se recordar que os gregos não usavam símbolos exclusivos para números, mas letras do alfabeto e sinais suplementares, e que os pitagóricos sicilianos empregavam grupos de pontos, o que os levou às propriedades estereométricas dos números e aos números figurados.
9. A ciência moderna retomou atitude análoga ao suprimir as barreiras entre matemática e lógica, pois a teoria dos conjuntos, das classes e das relações de Cantor-Russel-Whitehead e a axiomática de Hilbert são capítulos de uma única ciência, a nova logística, cujos elementos simbólicos representam indiferentemente ficções lógicas, números ou configurações geométricas.
10. Nicômaco de Gerasa, ao introduzir sua Introdução à Aritmética, afirma que os antigos, sob a condução espiritual de Pitágoras, definiram a filosofia como amor ao conhecimento, que as coisas incorpóreas são por essência imutáveis e inalteráveis, embora possam acidentalmente participar das vicissitudes dos corpos, e que o conhecimento se ocupa especialmente dessas coisas imateriais e eternas, que constituem a verdadeira realidade.
11. Nicômaco sustenta que tudo o que a natureza arrumou sistematicamente no Universo foi determinado e posto em ordem de acordo com o Número, por previsão e pensamento do Criador, tendo o modelo sido fixado como esboço preliminar pela dominação do Número preexistente no espírito do Deus criador, número-ideia puramente imaterial e verdadeira e eterna essência, de modo que com o Número foram criadas todas as coisas, o Tempo, o movimento, os céus, os astros e todos os ciclos.
12. Nicômaco de Gerasa não foi filósofo nem matemático de destaque como Eudoxo ou Diofanto, mas professor e ensaísta pitagórico para uso das pessoas do mundo, cuja ambição foi compor um tratado de harmonia para uma patrícia, e de sua obra emana certa grandeza pela gravidade litúrgica com que enuncia o artigo fundamental do credo da Escola.
13. Após a introdução vem a definição do número científico, que é ou uma multidão limitada, ou um conjunto enumerável finito, ou uma combinação de mônadas, isto é, de unidades, citando-se passagem de Teão de Esmirna que parafraseia esse segundo aspecto.
14. Os pitagóricos consideravam todos os termos da série natural dos números como princípios, de modo que três é o princípio dos três entre os objetos sensíveis e quatro o princípio de todos os quatro, o que é quase literalmente a definição de Bertrand Russell dos números como classes de classes.
15. As unidades ou mônadas podem ser pontos e dar origem ao mundo geométrico e algébrico dos números figurados, planos e sólidos, que os primeiros matemáticos pitagóricos estudaram na Sicília.
16. O número é também um fluxo, um escoamento de mônadas, definição que, como série móvel jorrando da mônada, aparece em variantes em Teão de Esmirna e Moderato de Gades e se reencarnou nos números-cortes e números-segmentos de Dedekind.
17. As concepções sobre os números divinos e científicos podem ser resumidas na proposição de que, tanto no mundo perceptível quanto no domínio da Ideia pura, o Número é a essência da Forma ou a Forma por excelência, passando-se então ao exame das relações entre os números.
18. O conceito geral de relação entre dois objetos ou grandezas é chamado por Nicômaco de schema, e a relação qualitativa como duplo, triplo etc. é chamada logos, ou relação propriamente dita no sentido moderno de medida.
19. Euclides, cuja teoria das relações e proporções se baseia nos trabalhos de Eudoxo, aluno de Platão, define com rigor que a relação é a relação qualitativa quanto à dimensão entre duas grandezas homogêneas e que a proporção é a equivalência das relações, o que traduzido em álgebra dá a equação geral da proporção geométrica entre quatro grandezas.
20. A comparação entre duas ou mais relações e a percepção de sua equivalência, acordo ou analogia, operação sintética da inteligência, tem como projeção esquemática no plano dos números a equação de proporção de mais alto grau.
21. Quando as duas grandezas intermediárias são iguais, obtém-se a proporção contínua, reservando Jâmblico o termo analogia para essa proporção contínua e chamando de analogon a proporção geométrica disjunta a quatro termos diferentes.
22. Nicômaco observa que, sendo a relação uma relação entre dois termos e a proporção uma combinação ou correlação de ao menos duas relações, são necessários ao menos três termos para estabelecer uma proporção.
23. Aplicando o Princípio de Economia, pode-se obter uma proporção contínua partindo apenas de duas grandezas a e b, cuja soma fornece a terceira grandeza requerida e a equação de proporção mais simples, que é a proporção contínua mais característica baseada na relação da seção dourada, enunciada como a relação entre a soma das duas grandezas consideradas e a maior delas é igual à relação entre esta e a menor.
24. Aplicada a segmentos de reta, a divisão de um segmento AC em duas partes AB e BC de modo que AC/AB = AB/BC corresponde ao que Euclides chama de divisão de um comprimento em média e extrema razão, o partage assimétrico mais lógico e importante por suas propriedades matemáticas, estéticas etc.
25. Essa relação foi batizada de proporção divina pelo monge bolonhês Fra Luca Pacioli di Borgo, que lhe consagrou o magnífico tratado Divina Proportione, ilustrado por Leonardo da Vinci, e a proporção divina será retomada mais adiante.
26. Os gregos, entre eles Nicômaco, escreviam em geral uma proporção, não só geométrica contínua mas também aritmética ou harmônica, sob forma de progressão ou série, dizendo por exemplo a proporção 1, 2, 4 ou a proporção 1, 3, 9, 27, 81.
27. O conceito de proporção desempenhou papel dominante nas especulações filosóficas e científicas gregas, e a teoria pitagórica da harmonia musical, puramente matemática e atribuída ao próprio Pitágoras, funda-se na teoria das proporções, cujos elementos eram os comprimentos dos segmentos de cordas sonoras, inversamente proporcionais aos números das vibrações.
28. Assim como na terminologia russelliana e einsteiniana a mesma frase pode representar indiferentemente um teorema de geometria tensorial, uma equação de cálculo diferencial absoluto, uma lei física ou uma função proposicional lógica, em Platão e seus discípulos pitagorizantes a mesma frase pode ser lida como proposição de geometria, música, estética geral, cosmogonia ou metafísica, passando-se sem esforço dos números científicos aos números puros e da harmonia à inteligência pura e reciprocamente.
29. Os invariantes familiares aos antigos e ainda vivos em Leonardo da Vinci, Shakespeare, Kepler e Descartes não são mais os nossos, e o autor, debruçado sobre eles como sobre belos corpos inanimados, tenta ressuscitá-los para a compreensão do que se segue, pedindo perdão pelas repetições e pela monotonia da operação.
30. Platão é provavelmente o pensador que mais meditou sobre a proporção e a harmonia, e seu enigma sobre o Número ou o Ritmo da Alma do Mundo, cujo esquema matemático e musical só foi reconstituído rigorosamente no século XIX por A. Boeckh, mostra como a tétrade pitagórica podia intervir nos problemas de harmonia geral, tendo Platão tratado também das proporções entre sólidos no Timeu.
31. As definições dadas convêm às proporções propriamente ditas ou analogias do tipo geométrico, baseadas na igualdade de duas ou mais relações e cujos elementos estão entre si como os termos de uma progressão geométrica.
32. Em uma proporção ou progressão geométrica contínua, o termo intermediário é chamado média geométrica entre os dois outros, como na progressão 3, 6, 12, em que 6 é a média geométrica entre 3 e 12.
33. Em uma proporção geométrica a quatro termos, do tipo descontínuo ou disjunto, há duas médias ou mediedades entre os dois termos extremos.
34. Desse tipo de proporção geométrica, especialmente do tipo contínuo que pode ser prolongado em número indefinido de termos e reproduz a pulsação de uma progressão geométrica de razão constante, decorrem a similitude e homotetia das figuras em geometria e a analogia dos planos ou volumes em arquitetura.
35. Assim como a noção grega de relação ou relação numérica é mais geral que a de relação ou número-medida propriamente dito, a noção de proporção foi também generalizada, e a analogia propriamente dita ou proporção geométrica é apenas um dos dez tipos de correlações entre relações expostos por Nicômaco e Teão de Esmirna.
36. A definição geral de proporção, segundo Nicômaco, é a combinação de duas ou mais relações, não implicando necessariamente a igualdade de duas relações iniciais, mas podendo também considerar entre elas uma diferença ou outro tipo de correlação ou comparação.
37. Para todos os tipos de combinações de relações ou de proporções, três é o menor número de termos que se pode empregar.
38. O exemplo do tipo de proporção geométrica contínua é aquele em que a relação entre o primeiro termo e o termo médio é igual à relação entre este e o termo extremo, como em 2, 4, 8.
39. Os dois outros tipos usuais de proporções são a proporção aritmética, em que o termo médio excede o primeiro de uma quantidade igual àquela de que é excedido pelo último, sendo igual à metade da soma dos extremos, e a proporção harmônica, em que o termo médio excede o primeiro de uma fração deste igual à fração do último termo de que é excedido por este último.
40. Esses três tipos principais de proporções, já estabelecidos pelos pitagóricos da Sicília, foram provavelmente transmitidos a Platão por Arquitas de Tarento, e Eudoxo e os discípulos imediatos de Platão elevaram seu número a seis com os três tipos subcontrários, enquanto os neopitagóricos Mionides e Euforanor inventaram outros quatro, totalizando dez.
41. Nicômaco e Teão de Esmirna empregam método logístico elegante para, dadas três grandezas, estabelecer esses dez tipos de proporções com auxílio do princípio do Mesmo e do Outro e do Princípio de Economia, e nesses diversos tipos, como na proporção contínua geométrica, o termo intermediário é chamado média ou mediedade.
42. Acordar ou preencher o intervalo entre dois termos dados consiste em encontrar a mediedade que dá nascimento à proporção, expressões aplicadas por Platão tanto no domínio da matemática quanto no da música e da cosmogonia, e o harmônico geral consiste em pôr em proporção os intervalos por meio de termos que sejam com os termos iniciais dados nas relações definidas, a fim de obter a consonância ou acordo dos intervalos.
43. Intercalar o termo médio em um silogismo monta uma cadeia de silogismos em sorte e liga assim um ponto entre dois polos do conhecimento, ligando pelo clarão da metáfora justa duas imagens banhadas no fluxo do ritmo prosódico, unindo pela eurritmia baseada na analogia das formas as superfícies e os volumes arquitetônicos, operações paralelas e análogas à criação da harmonia musical.
44. No capítulo já mencionado em que o Timeu trata do Ritmo da Alma do Mundo, Platão se serve da dupla tétrade musical dos pitagóricos, soma dos quatro primeiros números pares e dos quatro primeiros ímpares, como quadro para estabelecer a sétupla gama celeste cujos tons permitiriam orquestrar a harmonia das Esferas.
45. Ignora-se se Nicômaco e os outros neopitagóricos possuíam a chave do enigma de Platão, cuja explicação completa não se encontra em nenhum dos comentários sobre o Timeu que chegaram até nós, e só recentemente os comentadores modernos o decifraram, mas a influência desse passage e dos que expõem a correlação entre o Ritmo da Alma do Mundo e o da alma do homem, e a importância morfológica dos cinco poliedros regulares, foi imensa na filosofia e em outras áreas.
46. Nicômaco, tendo falado do Número paradigma preexistente no pensamento do Deus criador, escreve que, sendo o todo uma multidão ilimitada, era necessário um Ordem, e que na Década preexistia um equilíbrio natural entre o conjunto e seus elementos, razão pela qual o Deus ordenador se serviu da década como cânon para o todo, e as coisas do céu à terra têm seus rapportos de concordância baseados nela.
47. Nicômaco afirma que o número dez é, segundo a doutrina pitagórica, o mais perfeito dos números possíveis, e que em acordo com essa ideia se notaram dez tipos de relações e de categorias, e que parecem mesmo estabelecidas as divisões e formas das extremidades das mãos e dos pés e inúmeras outras coisas.
48. Nos Theologumena, Nicômaco chama a Década de Todo, pois ela serviu de medida para o todo como uma esquadria e um cordel na mão do Ordenador.
49. Passando da Década à sua metade, chega-se à Pentade ou característica do Cinco, que em arithmologia participa da essência e importância da Década como sua metade e imagem condensada, mas é também o Número de Afrodite enquanto deusa da união fecundadora e do Amor gerador, arquétipo abstrato da geração, sendo cinco a combinação do primeiro número par feminino, matriz e cissíparo, com o primeiro número ímpar masculino, assimétrico e completo.
50. A pentade é também o número da harmonia na saúde e da beleza realizada no corpo humano, e sua imagem gráfica, o pentalfa ou pentagrama, será ao mesmo tempo o símbolo do Amor criador e o da beleza viva, do equilíbrio na saúde, qualidades conexas ou intercambiáveis em Platão, desse corpo humano que, projeção da alma no plano material, reflete como ela o grande ritmo da Alma do Mundo ou Vida Universal.
51. Esse sincronismo entre os ritmos da alma individual bem acordada e os da Alma Universal é claramente especificado no Timeu, onde se diz que no corpo em que aflui e de que escoa um fluxo ininterrupto de Vida os deuses introduzem os movimentos periódicos da Alma imortal.
52. Platão menciona também o papel regulador e purificador da Música, dizendo que a harmonia, cujos movimentos são da mesma espécie que as revoluções regulares de nossa alma, não aparece ao homem que tem comércio inteligente com as Musas como boa apenas para proporcionar agrado irracional, mas foi dada como aliada da alma para trazer de volta à ordem e à uníssono seus movimentos periódicos desregulados, e o ritmo, que corrige a falta de medida e graça, foi dado pelas mesmas Musas para a mesma finalidade.
53. A ideia de analogia e correspondência entre a estrutura e o ritmo do Cosmos e os do Homem, entre o Macrocosmo e o Microcosmo, inspirou e fecundou por mais de dois mil anos a filosofia profana e religiosa, especialmente a Gnose alexandrina e seus rejeitos medievais e renascentistas, e o pentagrama tornou-se e permaneceu o emblema do Microcosmo, sabendo-se por Luciano que esse símbolo geométrico da Pentade era já o sinal de reunião secreto da Sociedade pitagórica.
54. A carreira do pentagrama como símbolo será seguida no curso do estudo, e já no próximo capítulo se verá que, como emblema matemático das correspondências harmônicas, foi muito bem escolhido, pois entre todos os polígonos estrelados se distingue por fornecer diretamente um ritmo indefinidamente recorrente e contínuo baseado na proporção contínua por excelência, aquela que, segundo o voto de Platão, se dá a si mesma e aos termos que une a unidade mais completa, e que é mais característica para a morfologia e as leis de crescimento dos organismos vivos.
55. Ao se tentar repensar à antiga as noções de número, relação e proporção, chega-se naturalmente às noções de ritmo, periodicidade ou recorrência no tempo ou no espaço resultante de uma cadeia de acordos ou proporções, e de harmonia que delas decorre organicamente.
56. Para os monitores gregos de ginástica mental, a percepção das relações e proporções se identificava à operação elementar do julgamento e da escolha criadora em geral, e a inteligência, em sua função de síntese conhecedora ou criadora, culminava na harmonia ou era a própria harmonia, de modo que o Belo, o Verdadeiro e o Bem são UM nessa concepção harmônica do conhecimento e da Vida.
57. É natural que essa atitude estética da filosofia geral se reflita integralmente na Arte correspondente, especialmente na arquitetura, harmonização do espaço, e é mais que provável que os arquitetos contemporâneos dos pensadores que estabeleceram harmonias e correspondências matemáticas rigorosas para abstrações como a Alma do Mundo fossem ao menos tão rigorosos no proporcionamento dos templos que edificaram para divindades tão geometrizantes, templos que falam ou, segundo Valéry, cantam.
58. Os temas melódicos desses templos ainda não foram decifrados, mas já se pode entrever onde está a chave, e as hipóteses recentes de Hambidge e Lund, detalhadas em obra anterior, e a de Moessel, a ser exposta, tentam abordar o problema à luz de passagens pitagorizantes do Teeteto, do Timeu e do Filebo de Platão, sendo sua armadura geométrica mais sutil que as triangulações empíricas de Viollet-le-Duc ou Dehio.
59. Os textos e definições que compõem a substância do capítulo permitirão estimar a verossimilhança dessas hipóteses e detectar imediatamente a inspiração da única obra antiga chegada até nós em que um homem do ofício fala brevemente da composição arquitetural.
60. Vitruve diz que a simetria consiste no acordo de medida entre os diversos elementos da obra, como entre esses elementos separados e o conjunto, e que, como no corpo humano, ela decorre da proporção, chamada pelos gregos de analogia, consonância entre cada parte e o todo, sendo essa simetria regulada pelo módulo, padrão de medida comum, que os gregos chamam de posotes, o número.
61. Vitruve afirma que, quando cada parte importante do edifício é convenientemente proporcionada pelo acordo entre altura e largura, entre largura e profundidade, e todas as partes têm seu lugar na simetria total do edifício, obtém-se a eurritmia.
62. Vitruve insiste longamente sobre essa sinfonia perfeita do jogo das proporções no corpo humano e sobre o jogo de correspondências análogas, por vezes numericamente idênticas, que o arquiteto deve estabelecer no plano eurítmico dos edifícios sagrados, e todo o seu terceiro livro é consagrado a esse paralelismo, alternando comparações e similitudes tomadas da música com preceitos puramente geométricos.
63. Ao se notar que Vitruve se refere a Filolau e a Arquitas de Tarento, fica-se menos surpreso ao constatar que o arquiteto-conselheiro do primeiro Imperador emprega as mesmas expressões que o pitagórico Nicômaco de Gerasa, que duas gerações mais tarde quis iniciar na harmonia das esferas a patrícia desconhecida da era flaviana, e que em uma das glosas, a última, em que retoma com insistência o elogio da simetria do corpo humano, surja naturalmente a referência à Década-Tétrade.
64. Essa simetria de Platão e de Vitruve, que não tem relação com o que atualmente se chama por esse nome, resulta do vínculo, da commodulatio, que liga por intermédio do padrão de medida comum, o módulo, todos os elementos entre si e com o todo, podendo esse vínculo ser a simples comensurabilidade linear ou ser constituído por relações funcionais mais complexas, como os dez tipos de relações e de proporções enumerados por Nicômaco.
65. Quando essa simetria, essa correspondência métrica, é obtida pelo encadeamento contínuo de proporções, pela analogia recorrente, e quando além disso a analogia se manifesta de maneira feliz tanto nas formas das partes mestras quanto nas relações entre essas partes e o conjunto arquitetônico, surge a eurritmia.
66. Como o Grande Ordenador do Timeu, o arquiteto decupa, desenrola e opõe seus cortejos de formas, harmoniza e liga seus acordes preenchendo os intervalos por meio das mediedades requeridas, e se, em um clarão de paixão criadora, seu ritmo pessoal batendo em uníssono com um Ritmo mais alto obtém a grande consonância, a Sinfonia que tende e faz vibrar, arco invisível, sua obra de pedra ou mármore, essa obra vive e, como os templos da Grécia e da Sicília, como as catedrais góticas, como as sereias da visão de Er, ela canta.